Sari la o secțiune7
Apare o știre cu salariul mediu net din România și, în comentarii, sute de oameni spun că ei nu au văzut niciodată banii aceia. Amândouă părțile au dreptate. Cifra e corect calculată, iar majoritatea chiar câștigă mai puțin decât ea. Explicația nu e statistică rea, ci trei instrumente diferite puse sub același nume: media, mediana și modul. Cine știe care dintre ele răspunde la ce întrebare citește altfel orice cifră, de la salarii la prețul apartamentelor.
Cele trei definiții, în trei propoziții
Media aritmetică e suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor și răspunde la întrebarea „cât ar primi fiecare dacă am împărți totul în mod egal”. Mediana e valoarea din mijlocul șirului ordonat crescător și răspunde la „cât are omul de la mijloc, cel care are exact atâția sub el câți are deasupra”. Modul e valoarea care apare cel mai des și răspunde la „care e situația tipică, cea pe care o întâlnești cel mai frecvent”.
Pe date perfect simetrice, cele trei coincid. Pe date reale nu coincid aproape niciodată, iar distanța dintre ele nu e o eroare, e informația principală. Când media e mult mai mare decât mediana, șirul are valori extreme în partea de sus. Când e mai mică, extremele sunt jos.
Exemplu de calcul, pas cu pas
Zece salarii nete dintr-o firmă mică, exprimate în lei: 3.500, 3.800, 4.000, 4.000, 4.200, 4.500, 5.000, 6.500, 9.000 și 35.000. Ultimul e al patronului.
- Media. Suma e 79.500 de lei. Împărțită la 10, dă o medie de 7.950 de lei.
- Mediana. Șirul are 10 valori, deci mijlocul cade între a cincea și a șasea: (4.200 + 4.500) ÷ 2 = 4.350 de lei.
- Modul. Valoarea 4.000 apare de două ori, toate celelalte o singură dată. Modul e 4.000 de lei.
- Câți sunt sub medie. Opt din zece angajați câștigă mai puțin decât media de 7.950 de lei, adică 80 la sută dintre ei.
- Ce se schimbă dacă scoatem salariul patronului. Rămân nouă valori, suma e 44.500 de lei, media coboară la 4.944 de lei, iar mediana urcă la 4.200, adică valoarea a cincea din nouă. O singură valoare din zece mișcase media cu peste 3.000 de lei și mediana cu 150.
Punctul 5 e definiția practică a robusteții. Mediana ignoră cât de departe sunt extremele, îi interesează doar câte sunt de o parte și de alta. Media le simte pe toate, proporțional cu mărimea lor. Verificarea tuturor celor trei valori pe un set de date propriu se face cu calculatorul de statistici de bază.
Ce întrebare răspunde fiecare
| Indicator | Răspunde la | Sensibil la extreme | Se folosește bine pentru |
|---|---|---|---|
| Media | Cât e totalul, împărțit egal | Foarte | Buget total, consum lunar, costuri agregate |
| Mediana | Cât are cel din mijloc | Aproape deloc | Salarii, prețuri de locuințe, venituri, timpi de așteptare |
| Modul | Care e cazul cel mai frecvent | Deloc | Mărimi de produs, note, categorii, alegeri repetate |
| Media ponderată | Cât e media când valorile nu contează egal | Depinde de ponderi | Note cu credite, coșuri de prețuri, portofolii |
Coloana a treia e cea care decide alegerea în practică. Dacă în date pot exista valori foarte mari sau foarte mici, dar rare, mediana descrie mai fidel ce trăiește majoritatea. Dacă te interesează suma totală, de exemplu cât cheltuiește o familie pe an, ai nevoie de medie, pentru că numai ea se înmulțește corect cu numărul de cazuri.
Unde se folosește greșit fiecare
Salarii și venituri
Distribuția veniturilor e asimetrică la dreapta în orice economie: puțini oameni câștigă foarte mult, iar ei ridică media fără să miște mediana. De aceea rapoartele serioase publică ambele cifre, iar diferența dintre ele e un indicator de inegalitate în sine. Când vezi doar media, nu ai cum să știi dacă ea descrie o situație echilibrată sau una cu câteva valori uriașe în vârf.
Prețuri de apartamente
Un cartier cu o singură vânzare de penthouse poate avea o medie de preț pe metru pătrat cu 20 la sută mai mare decât realitatea tranzacțiilor obișnuite. Mediana pe metru pătrat, calculată pe tranzacții încheiate și nu pe prețuri cerute, e singura cifră cu care poți compara două cartiere. Aceeași logică se aplică la randamentul unei investiții, unde o lună excepțională de chirie distorsionează media anuală.
Timpi de așteptare și de livrare
Aici mediana înșală în celălalt sens. „Timpul median de livrare e două zile” e o afirmație care nu spune nimic despre coada distribuției, adică despre cele 5 la sută de comenzi care ajung în zece zile și care produc toate reclamațiile. Pentru astfel de date se folosesc percentile, de exemplu percentila 90, nu media și nici mediana singură.
Note și punctaje
Modul e util aici și aproape ignorat. Dacă la un examen modul e 5, iar media 6,80, distribuția are un vârf la limita de promovare, ceea ce spune mai mult despre examen decât media. La școală însă intervine un al patrulea caz, media ponderată, pentru că disciplinele nu cântăresc egal. Mecanismul e explicat în articolul despre media ponderată, cu exemple practice, iar calculul propriu se face cu calculatorul de medie ponderată.
Media ponderată, al patrulea instrument
Media ponderată e o medie aritmetică în care fiecare valoare intră cu o greutate proprie. Formula e suma produselor dintre valoare și pondere, împărțită la suma ponderilor. Se folosește oriunde valorile nu au aceeași importanță: note cu numere diferite de credite, prețuri cu cantități diferite, randamente cu sume investite diferite.
Capcana cea mai frecventă e media mediilor. Dacă un magazin a vândut într-o lună 100 de produse cu marja de 10 la sută și 5 produse cu marja de 40 la sută, marja medie nu e 25 la sută, adică media celor două procente. E media ponderată cu cantitățile, adică aproximativ 11,4 la sută. Aceeași greșeală apare la mediile de consum, la mediile de dobândă și la mediile de creștere, iar articolul despre erorile de rotunjire la procente arată cum se adună mai multe astfel de abateri mici într-una vizibilă.
Pentru mediile de creștere în timp se folosește media geometrică, singura care respectă compunerea. Aritmetica și ponderata dau rezultate greșite acolo. Dacă o sumă crește cu 50 la sută într-un an și scade cu 50 la sută în următorul, media aritmetică a variațiilor e zero, dar tu ai pierdut 25 la sută din bani. Efectul de compunere e vizibil direct în calculatorul de dobândă compusă.
Cum verifici o cifră de presă în două minute
- Caută cuvântul „mediană” în sursa originală. Dacă apare, compară cele două cifre. Dacă nu apare deloc într-un raport despre venituri, e un semn că datele nu au fost privite din unghiul acesta.
- Uită-te la mărimea eșantionului. Pe 20 de valori, o singură valoare extremă dictează media. Pe 20.000, nu.
- Verifică dacă e vorba de valori cerute sau realizate. Prețurile din anunțuri și prețurile din contracte produc statistici diferite, iar diferența e sistematică, nu aleatoare.
- Întreabă cine lipsește din date. O medie a salariilor din contracte de muncă nu include munca nedeclarată, iar o medie a chiriilor din anunțuri nu include chiriile dintre rude.
- Refă calculul pe cifrele brute, când sunt publicate. E un minut de lucru și prinde inclusiv erorile de transcriere.
Pentru transformările procentuale din același tip de verificare există calculatorul de procente, iar pentru situațiile în care trebuie să afli valoarea necunoscută dintr-o relație dată, calculatorul de rezolvare a ecuațiilor. Legătura dintre cele două tipuri de calcul e detaliată în articolul despre drumul de la procente la ecuații, iar aplicațiile zilnice ale statisticii de bază sunt adunate în ghidul despre statistica de zi cu zi. Restul instrumentelor stau în lista de calculatoare.
Întrebări frecvente
Care e diferența dintre medie și mediană, în cel mai simplu mod?
Media împarte totalul în mod egal, deci o singură valoare foarte mare o ridică pe toată. Mediana ia valoarea exact din mijlocul șirului ordonat, deci nu îi interesează cât de mare e cea mai mare valoare, doar câte valori sunt de fiecare parte. Pe un șir de zece salarii în care unul e de zece ori mai mare decât restul, media poate depăși ce câștigă opt din zece oameni, iar mediana nu.
Un set de date poate avea două moduri?
Da, iar situația se numește distribuție bimodală. Apare des în date reale, de exemplu la orele de vârf ale traficului, dimineața și după-amiaza, sau la prețurile dintr-un oraș cu două zone distincte de piață. Două moduri sunt un semnal că datele amestecă două populații diferite, iar atunci media unică nu descrie niciuna dintre ele.
Când e mediana mai mică decât media?
Când distribuția are o coadă lungă spre valori mari, adică e asimetrică la dreapta. Așa sunt veniturile, prețurile locuințelor, mărimile orașelor și durata vizitelor pe un site. Situația inversă, mediana mai mare decât media, apare când coada e spre valori mici, de exemplu la note într-un examen cu multe rezultate slabe și un grup compact de note bune.
Ce cifră ar trebui să public dacă am date despre salariile echipei mele?
Ambele, plus numărul de persoane. Media singură invită la comparații nefavorabile pentru majoritate, mediana singură ascunde costul total pe care îl suportă firma. Cu cele trei informații împreună, oricine poate reconstrui imaginea corectă, iar discuția se mută de la cifră la interpretare.