Sari la o secțiune7
Două firme anunță același salariu mediu net: 5.000 de lei. În prima, toți cei cinci angajați iau între 4.000 și 6.000. În a doua, unul ia 2.000 și altul 8.000. Media este identică, realitatea nu are nimic în comun. Cifra care separă cele două situații nu este media, ci abaterea standard, și este singurul număr care îți spune dacă media pe care te bazezi descrie ceva sau ascunde totul.
Ce este abaterea standard
Abaterea standard arată cât de departe sunt, în medie, valorile individuale de media setului. Se exprimă în aceeași unitate ca datele: dacă măsori salarii în lei, abaterea standard este în lei; dacă măsori timpi de livrare în minute, este în minute. O abatere standard mică înseamnă valori strânse în jurul mediei, deci o medie pe care te poți baza. O abatere standard mare înseamnă valori împrăștiate, deci o medie care nu descrie niciun caz real.
Formula are patru pași și niciunul nu cere mai mult decât o înmulțire și o rădăcină pătrată: calculezi media, scazi media din fiecare valoare, ridici fiecare diferență la pătrat și faci media acestor pătrate, apoi extragi rădăcina pătrată. Pătratul există pentru un motiv practic: fără el, abaterile pozitive și negative s-ar anula reciproc și rezultatul ar fi mereu zero. Rădăcina de la final readuce rezultatul în unitatea originală, după ce pătratul l-a scos din ea.
Varianța, abaterea standard și amplitudinea
- Amplitudinea: diferența dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică. Se calculează instant, dar o singură valoare extremă o face inutilă.
- Varianța, numită și dispersia: media pătratelor abaterilor. Este pasul intermediar, exprimat în unități la pătrat, deci greu de interpretat direct.
- Abaterea standard: rădăcina pătrată a varianței. Ea este cifra care se raportează, pentru că se citește în aceeași unitate ca datele.
- Coeficientul de variație: abaterea standard împărțită la medie, exprimată procentual. Permite comparația între seturi cu ordine de mărime diferite.
Exemplu de calcul, pas cu pas
Luăm cele două firme din introducere, cu salariile nete exprimate în lei.
Firma A: 4.000, 4.500, 5.000, 5.500, 6.000 de lei.
Pasul 1, media: (4.000 + 4.500 + 5.000 + 5.500 + 6.000) ÷ 5 = 25.000 ÷ 5 = 5.000 de lei.
Pasul 2, abaterile față de medie: -1.000, -500, 0, +500, +1.000.
Pasul 3, pătratele abaterilor: 1.000.000, 250.000, 0, 250.000, 1.000.000. Suma lor este 2.500.000.
Pasul 4, varianța și abaterea standard: 2.500.000 ÷ 5 = 500.000, iar rădăcina pătrată din 500.000 este aproximativ 707 lei.
Firma B: 2.000, 3.000, 5.000, 7.000, 8.000 de lei.
Media este tot 5.000 de lei, pentru că 25.000 ÷ 5 = 5.000. Abaterile sunt însă -3.000, -2.000, 0, +2.000, +3.000, iar pătratele lor însumează 26.000.000. Varianța este 26.000.000 ÷ 5 = 5.200.000, deci abaterea standard este aproximativ 2.280 de lei.
Aceeași medie, o împrăștiere de peste trei ori mai mare. Coeficientul de variație arată asta și mai limpede: 707 ÷ 5.000 = 14,1% la firma A, față de 2.280 ÷ 5.000 = 45,6% la firma B. Transformarea unui raport în procent și verificarea în sens invers se fac rapid cu calculatorul de procente, iar media, abaterea standard și varianța pentru un set propriu de date se obțin direct din calculatorul de statistici de bază.
| Indicator | Firma A | Firma B |
|---|---|---|
| Salariul mediu net | 5.000 lei | 5.000 lei |
| Salariul minim din set | 4.000 lei | 2.000 lei |
| Amplitudinea | 2.000 lei | 6.000 lei |
| Abaterea standard | 707 lei | 2.280 lei |
| Coeficientul de variație | 14,1% | 45,6% |
Împărțirea la n sau la n minus 1
Dacă ai calculat vreodată abaterea standard în două programe diferite și ai primit două rezultate, explicația este aproape sigur aici. Există două variante ale formulei, iar diferența este numitorul de la pasul varianței.
Se împarte la n când datele tale sunt întreaga populație studiată, adică nu există nimic în afara setului. Cele cinci salarii ale firmei A, dacă firma are exact cinci angajați, sunt o populație completă. Se împarte la n minus 1 când datele sunt un eșantion extras dintr-o populație mai mare și vrei să estimezi împrăștierea acelei populații. Pe setul firmei A, varianta cu n minus 1 dă 2.500.000 ÷ 4 = 625.000, deci o abatere standard de aproximativ 791 de lei, nu 707.
La seturi mari diferența devine neglijabilă, pentru că raportul dintre n și n minus 1 se apropie de 1. La cinci valori, diferența este de 12%, suficient ca două rapoarte să pară contradictorii fără să fie. Regula de redactare este simplă: scrii în raport care variantă ai folosit, nu doar rezultatul.
Regula celor trei intervale și limitele ei
Pentru date distribuite aproximativ normal, adică grupate simetric în jurul mediei, abaterea standard permite o citire rapidă: în jur de 68% din valori se află la cel mult o abatere standard de medie, aproximativ 95% la cel mult două și aproape toate, circa 99,7%, la cel mult trei.
Aplicat pe firma A, intervalul mediei plus sau minus o abatere standard este 4.293 la 5.707 de lei, iar trei din cinci salarii cad în el, ceea ce se potrivește rezonabil cu regula. Problema apare când distribuția nu este simetrică, situație obișnuită la venituri, la prețuri și la timpi de așteptare. O distribuție cu o coadă lungă spre dreapta, cu puține valori foarte mari, trage media în sus și umflă abaterea standard, iar regula celor trei intervale nu se mai aplică. În aceste cazuri mediana descrie mai bine cazul tipic decât media, iar diferența dintre cele două este discutată în articolul despre media, mediana și modul.
Un semnal practic de distribuție asimetrică: dacă media este vizibil mai mare decât mediana, ai valori extreme care trag în sus. Dacă media este mai mică decât mediana, extremele trag în jos. Când distanța dintre cele două depășește câteva procente din medie, abaterea standard raportată singură induce în eroare.
Unde contează mai mult decât media
La planificarea unui termen. Doi curieri livrează în 30 de minute în medie. Primul are o abatere standard de 3 minute, al doilea de 15. Dacă promiți clientului livrarea în 45 de minute, primul o respectă aproape întotdeauna, al doilea ratează frecvent. Media te face să îi consideri echivalenți.
La clasamente școlare. Într-o clasă cu medii strânse, o diferență de 0,10 mută elevul cu cinci poziții. Într-o clasă cu medii împrăștiate, aceeași diferență nu mută nimic. Când bursa se acordă pe procent din efectiv, împrăștierea din clasă decide cât de mult contează fiecare notă, mecanism explicat în articolul despre bursa de merit și bursa socială.
La bugete și consumuri. O factură medie de 400 de lei cu o abatere standard de 30 de lei se poate bugeta cu 450. Aceeași medie cu o abatere de 200 de lei cere o rezervă complet diferită, pentru că lunile de vârf vor dubla media.
La comparația între grupuri de mărimi diferite. Dacă vrei media mai întâi, pe grupuri cu efective inegale, media aritmetică simplă a mediilor de grup este greșită și trebuie înlocuită cu o medie ponderată după numărul de observații. Verificarea se face cu calculatorul de medie ponderată, înainte de orice calcul de împrăștiere.
Greșeli care strică rezultatul
- Rotunjirea la pașii intermediari: rotunjirea abaterilor sau a pătratelor înainte de însumare mută rezultatul final cu procente întregi. Se rotunjește o singură dată, la final. Mecanismul prin care erorile mici se adună este descris în articolul despre rotunjiri și procente care nu dau suma așteptată.
- Amestecarea unităților: un set cu valori în metri și altele în centimetri produce o abatere standard fără sens. Conversia se face înainte, cu convertorul de unități de măsură.
- Compararea abaterilor standard brute între seturi cu medii diferite: o abatere de 100 pe o medie de 200 este enormă, aceeași abatere pe o medie de 10.000 este nesemnificativă. Pentru comparație se folosește coeficientul de variație.
- Păstrarea unei valori eronate în set: o singură greșeală de tastare, un 50.000 în loc de 5.000, umflă abaterea standard mai mult decât orice variație reală. Un control al valorilor extreme se face înaintea calculului, nu după.
- Raportarea abaterii standard fără efectivul setului: pe trei valori, cifra nu descrie nimic stabil. Numărul de observații se trece întotdeauna lângă rezultat.
Dacă ai nevoie de valoarea care trebuie adăugată într-un set pentru a atinge o medie țintă, problema se reduce la o ecuație de gradul întâi și se rezolvă cu calculatorul de rezolvare a ecuațiilor, pornind de la suma necesară minus suma existentă.
Întrebări frecvente
O abatere standard mare este un lucru rău?
Nu în sine, depinde ce măsori. Pe timpii de livrare sau pe calitatea unui proces de producție, împrăștierea mare înseamnă lipsă de control și este o problemă. Pe un portofoliu de investiții, împrăștierea mare înseamnă risc mai mare, acceptabil dacă îl asumi conștient. Abaterea standard descrie variabilitatea, nu o judecă.
Care este diferența dintre varianță și abatere standard?
Abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței. Varianța se exprimă în unități la pătrat, de exemplu lei la pătrat, deci rămâne greu de interpretat direct. Abaterea standard revine la unitatea originală și de aceea este cifra care se raportează. Matematic conțin aceeași informație.
Pot calcula abaterea standard pe doar trei valori?
Aritmetic, da, formula funcționează de la două valori în sus. Practic, rezultatul este foarte instabil: o singură valoare schimbată îl poate dubla. Pe seturi sub zece observații, abaterea standard se raportează mereu împreună cu numărul de valori și se tratează ca indiciu, nu ca măsură fermă.
De ce se ridică abaterile la pătrat și nu se iau pur și simplu în valoare absolută?
Varianta cu valoare absolută există și se numește abaterea medie absolută. Pătratul s-a impus pentru că penalizează mai tare valorile îndepărtate de medie și pentru că are proprietăți matematice pe care se sprijină calculele ulterioare în calcule ulterioare. Pentru o descriere simplă a împrăștierii, ambele funcționează, dar cifrele nu sunt interschimbabile.