Calculator rezolvare ecuații

Formula de rezolvare

Ecuația de gradul I, ax + b = 0, are întotdeauna o soluție unică: x = −b/a (dacă a ≠ 0). Ecuația de gradul II, ax² + bx + c = 0, se rezolvă cu formula discriminantului: Δ = b² − 4ac. Dacă Δ > 0, ecuația are două soluții reale distincte; dacă Δ = 0, are o soluție reală dublă; dacă Δ < 0, nu are soluții reale (soluțiile sunt numere complexe). Soluțiile se calculează cu formula x = (−b ± √Δ) / 2a.

Exemplu pas cu pas, ecuație de gradul II

Pentru ecuația x² − 3x − 4 = 0 (a=1, b=−3, c=−4), discriminantul este Δ = (−3)² − 4×1×(−4) = 9 + 16 = 25. Deoarece Δ > 0, ecuația are două soluții reale distincte: x₁ = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4, și x₂ = (3 − √25) / 2 = (3 − 5) / 2 = −1. Verificare: 4² − 3×4 − 4 = 16 − 12 − 4 = 0 ✓, iar (−1)² − 3×(−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0 ✓, confirmând corectitudinea ambelor soluții.

Cazurile speciale ale discriminantului

Unde se folosesc aceste ecuații în practică

Ecuațiile de gradul I apar constant în probleme de proporționalitate, conversii sau calcule financiare simple, oriunde există o relație liniară între două mărimi. Ecuațiile de gradul II modelează traiectorii parabolice (aruncarea unui obiect), probleme de optimizare (aria maximă a unui teren cu perimetru dat) sau calcule financiare cu dobândă compusă rescrise sub formă pătratică. În fizică, ele apar la calculul timpului de cădere liberă sau al distanței parcurse sub accelerație constantă, iar în inginerie, la dimensionarea structurilor sau la analiza circuitelor electrice cu componente rezistive și reactive.

Exemplu pas cu pas, ecuație de gradul I

Pentru ecuația 4x + 12 = 0 (a=4, b=12), soluția se obține direct din formula x = −b/a = −12/4 = −3. Verificare: 4×(−3) + 12 = −12 + 12 = 0 ✓. Ecuațiile de gradul I apar frecvent și sub forme mai puțin evidente, care necesită mai întâi aducerea la forma standard ax + b = 0. De exemplu, ecuația 5x − 7 = 2x + 8 se rezolvă întâi mutând toți termenii cu x în stânga și constantele în dreapta: 5x − 2x = 8 + 7, adică 3x = 15, deci x = 5. Această etapă de rearanjare este esențială înainte de a introduce coeficienții a și b în calculator, deoarece formula x = −b/a presupune deja că ecuația este scrisă în forma standard.

Relația dintre coeficienți și soluții (relațiile lui Viète)

Pentru o ecuație de gradul II cu soluții reale x₁ și x₂, există două relații utile care leagă direct soluțiile de coeficienții ecuației, fără a mai calcula discriminantul: suma soluțiilor x₁ + x₂ = −b/a, iar produsul lor x₁ × x₂ = c/a. Pentru exemplul x² − 3x − 4 = 0, unde x₁ = 4 și x₂ = −1, suma este 4 + (−1) = 3, exact −b/a = −(−3)/1 = 3, iar produsul este 4 × (−1) = −4, exact c/a = −4/1 = −4. Aceste relații, numite relațiile lui Viète, sunt utile pentru verificarea rapidă a unui rezultat fără a reface tot calculul, sau pentru a construi o ecuație de gradul II atunci când se cunosc doar soluțiile dorite.

Scrierea ecuației sub formă factorizată

Odată aflate soluțiile x₁ și x₂ ale unei ecuații de gradul II cu Δ ≥ 0, expresia ax² + bx + c se poate rescrie sub forma factorizată a(x − x₁)(x − x₂), echivalentă matematic, dar mai utilă pentru anumite calcule, de exemplu determinarea rapidă a semnului expresiei pe diverse intervale. Pentru exemplul x² − 3x − 4 = 0, cu x₁ = 4 și x₂ = −1, forma factorizată este (x − 4)(x + 1). Verificarea se face prin desfacerea parantezelor: x² + x − 4x − 4 = x² − 3x − 4, identică cu ecuația inițială. Această formă este utilă mai ales în liceu, la trasarea rapidă a graficului funcției de gradul II sau la rezolvarea inecuațiilor de tipul ax² + bx + c > 0, unde semnul expresiei se citește direct din poziția lui x față de cele două rădăcini.